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2006-07-17, 23:11
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见习会员
等级: 一袋长老
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不管是 防偽設計 或者 是美觀設計 symetric pattern 或 optic pattern 乃至於fractional patern 在如此的現代化包裝設計邏輯下 3D(立體)/全像光學 /光紋/激光 技術 越形重要 這篇早在1975年的文章 深入淺出的討論光學的基本原理 我們能思考之後 將之利用於pattern design 上 來此提出 與諸位先進番享 還可以參考著名 AI 的 plug-in symmetryworks http://www.artlandia.com/products/SymmetryWorks/ 他所出的 pattern collection http://artlandia.com/products/collection/ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 疊紋──奇妙的圖案(上) -------------------------------------------------------------------------------- 【摘要】兩片透光的細密圖案相疊合，可以產生一組新的圖樣；這種圖樣與數學、物理、工程量度、視覺心理及等高線測繪等都有微妙的關係。 一、紗窗上的藝術 年關到時，家家戶戶為了迎接新年頭，少不得全家總動員來一番除舊佈新洒掃洗刷的大手術。你也許分配到洗紗窗的差事。若是如此，先別埋怨年頭難過。指點你一個迷津，保證你紗窗洗起來生趣盎然，樂在其中；試著把兩片紗窗疊合起來，你會發現紗窗裏頓時浮現出一付很奇妙的圖案。圖案線條的寬度遠比紗窗格子的間距為大。說這圖案奇妙，絕非空穴來風，不信只要略為移動或轉動其中一片紗窗，整個圖案的紋路馬上跟著大幅度調整。此時如果清風徐來，使得紗窗在微風中抖動，則這個圖案也必隨著在空中婆娑起舞，不僅舞步輕快迅捷，而且儀態萬千，婀娜多姿，令你目不暇視。 仕女們也許沒有雅興欣賞紗窗裏的藝術，這也無妨。愛美的仕女們多少總有些心愛的面紗或睡袍(最好是深色透明的)，只要把它們折疊起來，一樣可以欣賞到這種跳躍的圖案。如果你把這種睡袍著在身上，面對鏡子，仔細端詳鏡中睡袍折疊的部分，你會發覺，這組圖案甚至會隨著你的呼吸而顫抖。如果你扭動身軀，圖案的變化就更美不勝收！ 這種由兩組頻率相當大間距相當小的透明光柵(grating)或格子(grid)重疊而成的圖案叫做疊紋(moire)──讀成(MWARAY)。這裏所謂的光柵泛指由透光細密線條交互組成的圖樣。光柵的線條只要夠密就行，形狀則無關緊要。當然，不同的光柵組合成不同的疊紋。下一節裏我們會介紹一些人造光柵圖案，由這些基本光柵可以疊合出許許多多有趣的疊紋來。 提起疊紋，原也不是什麼新鮮事。其實日常生活中，只要你多留意觀察，自然界中許多神奇奧秘的現象成天在你四周漫步。只要你心思敏銳，慧眼獨具，便能透視表象，領受一些蘊育在平凡中的奇特現象。 比方說：當你乘車子在公路上奔馳，遠處橋梁兩側的欄杆如果間距小一點，從側面望過去，靠近我們的一排欄杆，間距略大于遠離我們的一排，當近側的欄杆恰好與遠側欄杆的空隙疊合時，我們可以看到如圖(一)所示的節拍，這就是最簡單的一種疊紋；或者在你梳頭的時候，把兩隻黑色的梳子相疊起來，旋轉一個小角度，也可以得到像圖(二)所示的疊紋；在炎陽高掛的日子裏，試著站在籬笆旁邊，瞧瞧籬笆和地上的影子疊加後是否像圖(三)的模樣；如果有機會帶小孩子到動物園去玩耍，別忘了去看看斑馬，當檻子的欄杆與斑馬身上的斑紋重疊時，斑馬身上也會呈現出疊紋；平常我們在家裏看電視，如果碰巧演員穿了一件有細條花紋的外衣，有時也會有彎曲的疊紋在螢光幕上扭動，原來螢光幕的構造與光柵相似，不幸碰到另一組光柵(或任何有細密線條的圖案)就成了疊紋寄生的溫床了。所以，在日常生活裏，疊紋對我們來講決不是陌生的事。 疊紋除了圖案美妙外，可還有引人入勝的地方嗎？有的，上面已經提過，只要移動或轉動一片紗窗，疊紋就隨著變化，這一性質提醒我們，疊紋可以用來量度物體的微小變形或移動。此外，有些疊紋的形狀使我們聯想起湖邊的碎波，仔細思量，你會發覺原來疊紋是以視覺方法來描繪一些物理現象的最好工具！不僅物理現象如此，許多數學和幾何上的現象利用疊紋來說明不僅乾淨俐落而且具體而微。在心理學上，疊紋也不甘寂寞，扮演了一個跑龍套的角色。疊紋還可以用來測繪等高線，我們常戲稱它做疊紋拓樸學！如果你想辨識指紋，疊紋也可以派上用場。這些妙事，說起來話長，諸位且聽我分頭慢慢道來。 二、中國第五大發明 我們如果翻查字典，moir'e的定義是波紋或有波紋的絲綢。這裏頭原來蘊藏了一段歷史典故。提起中國人的智慧，人人都曉得指南針、火藥、造紙、印刷術是我們祖先對人類文明的不朽貢獻。大概很少人知道，中國人也是歷史上最早發現疊紋之美，最先發明有疊紋的絲綢的偉大民族。這種名貴的絲綢係把兩片光澤而有稜條的布以蒸汽壓黏貼在一起。這種絲綢展開時，會產生像圖(四)的美麗疊紋。如果觀測的人或者身著這種絲綢的人移動位置，不僅絲綢閃爍發光，疊紋也隨顫動，煞是美觀。 三、光柵──疊紋之母 任何兩組間距極小的光柵，或者一片光柵與任何細密條紋組成的圖案疊合一起就能產生疊紋。這節裏，我們介紹一些人造光柵圖案。這些特殊光柵的不同組合所產生的疊紋可以用來解釋數學、幾何和物理上的某些現象。為了以後引用方便，我們把這些光柵圖案分別給予號碼。 1號：粗紋光柵(coarse grating)：黑線與白間寬度相等。這樣粗的光柵產生疊紋的效果不佳。列在這裏，目的在以後說明疊紋形成原理時引用。 2號：細紋光柵(fine grating)：黑白的寬度也一樣。 3號：對數光柵(logarithmic grating)：由左到右，線條的頻率由小變為大。 4號：輻射光柵(radiating lines)：整個圓周共計120條黑的輻射線，線與線的夾角為3。 5號：同心等距圓(equispaced circles)：從圖心往外同心圓的半徑成等差級數。 6號：圓形環狀光柵(circular zone plate)：或夫瑞奈環狀板(Fresnel zone plate)，是光學上有名的圖形。環繞白色圓形外頭的黑圈面積與中心白圓相等。事實上，所有黑圈的面積與兩黑圈中的白環的面積相等，所以越往外，環與環間的距離越小。如果我們把這些環由內往外標以數字(即1,2,3,……)則環的半徑與數字的平方根成正比。 7,8號：球及圓柱的投影(sphere projection, cylinder projection)：這種光柵可看成球體或圓柱體的等高線的正投影。 9號：網狀光柵(halftone screen)。 10號：粗線正弦光柵(coarse sines)：斜率最大的地方，線條寬度略小，以便黑白線有相等寬度。 11號：細線正弦光柵(fine sines) 12號：透視正方形光柵(perspecfive squares)：這種光柵類似於方形長廊的天花板、地板及牆上均塗以黑白相間的條紋，從遠處望過去所看到的圖案。 13號：中度粗細光柵(medium grating)：介於粗細光柵之間，所不同者，黑線寬度較白線小。這種光柵重疊出來的疊紋，性質也不同於前述粗細光柵。 14號：高斯氏光柵(Gaussian grating)：這種光柵係根據高斯曲線(即統計學上的正常分布曲線)把13號光柵加以修正而成。 15號：收歛圓光柵(converging circles) 16號：橢圓形環狀光柵(elliptical zone plate)：即圓形環狀光柵的側投影。本圖中長軸與短軸比為4：3。 17號：對數螺旋(logarithmic spirals)：黑白計65條的45度螺旋線對數螺旋可視為一組曲線同時一面旋轉一面伸長。這種等角螺旋線係笛卡兒(ReneDescartes)所發現。如由圓心往外畫一直線，則直線與螺旋線的交角處處相等。從圓心到螺旋線上一點距離的對數與旋轉角度成正比例。自然界裏，海中貝殼及天上星雲的形狀，就是對數螺旋的最好例子。 如果諸位有興趣，無妨模倣上述的這個圖型，用黑筆把這些圖型畫在透明紙上，你就可以自己把玩再三，創造出許多千變萬化的疊紋來。疊紋的產生當然不限於把兩組光柵疊合。你甚至可以把三片、四片光柵疊合起來，隨心所欲地浸沉在疊紋的美妙與複雜中而渾然忘我。 自然界中最細的光柵要推晶體，晶體中的原子組成最基本的晶格。因為晶格本身太細，即使電子顯微鏡也分辨不出來。不過，假如把兩塊晶體疊合起來而碰巧晶軸的走向大略相同，電子顯微鏡裏卻可以看見他們的疊紋。圖(五)便是一個例子。 四、最簡單的疊紋 要解釋疊紋形成的原因，可以用光學上複雜的繞射及透射現象來說明，也可以用簡單的指標方程式來描述。在本文裏我們採用後法，因為它較為生動而易解。先拿最簡單的1號粗線光柵來看，把兩片粗線光柵疊合一起，當兩組線的交角小於45度時，可以看到如圖(六)所示的疊紋。又由圖(七)可以看出，疊紋的紋距隨交角減小而增大。當交角等於零時(即兩組線平行)，疊紋的紋距無限大，意味著我們無法在圖上找到疊紋的痕跡。注意，這是兩片等間距平行線光柵密疊時的情形。如果兩片光柵的間距不等，或者兩片光柵間距雖相等但並不密疊，中間留著空隙，則即使兩片光柵的線組平行，也會有節拍(beat)的現象產生，節拍的模樣已在圖(一)裏見過。這種疊紋的圖案彷彿一些白色的菱形貼在一片黑的背景上。 疊紋的間距δ與兩組光柵的夾角θ及光柵的間距p有一定的關係。圖(八)係疊紋網路放大後圖形。通過菱形短對角線的細線即疊紋。菱形一邊長度d1與p的關係如下 d1=p/sinθ (1) 紋距δ與p的關係也可從圖中直接得出 δ=p/(2sinθ/2) (2) 這個關係式首由瑞立(Rayleigh)於1874年提出。當交角θ極小時，角度的正弦與角度本身(以弧度表示)很接近，所以在小交角時，(2)式可簡化成 δ=p/θ (3) (3)式提示我們如何以量度疊紋的紋距δ來測定θ。 由於對稱的關係，疊紋恰好平分兩組光柵的交角。設疊紋與垂直光柵的交角為Φ(順鐘向)。則Φ+θ/2=90°，故疊紋的斜率可寫成 tanΦ=cot(θ/2) (4) 當θ趨近於零，則Φ趨近於90°，故當交角極小時，疊紋的斜率約等於θ/2。所以只要量出疊紋的斜率就可以找出θ，這是測定小交角的另一方法。 以上的推導僅限於兩組光柵的間距同為p，如果令其中一組光柵的間距為p1，如圖(九)所示。可求得 p1=p〔sin(Φ-θ)/sinΦ〕 (5) 從此式解得疊紋的斜率 tanΦ=psinθ/(pcosθ-p1) (6) 斜率tanΦ的大小取決於p與p1的相對值。(6)式提供了另一測定交角θ的方法。當θ極小時，【瀏覽原件】，(6)式可簡化成 tanΦ=〔p/(p-p1)〕．θ (7) 換言之，當交角θ極小時，疊紋的斜率較θ大【瀏覽原件】倍，如p/p1的比值與1很接近，則Φ的數值較θ大得多，很容易量出，從而可以很準確地算出【瀏覽原件】的值。又圖(九)中 α=p/sinθ (8) 且【瀏覽原件】 (9) 將(6)式代入(9)即得疊紋紋距 【瀏覽原件】(10) 注意，當θ=0,cosθ=1，則δ=pp1/｜p-p1｜，此時疊紋與圖(一)相似，δ則為節拍的間距。 五、疊紋與數學 用以創造疊紋的光柵並不限於平行直線光柵，曲線圖形的光柵照樣可以產生疊紋。圖(十)中兩片曲線光柵相疊，疊紋沿著菱形短對角線的方向產生。在這一節裏，我要介紹一個描述疊紋的數學通式。為了易於說明起見，我們還是先取平行等間距的光柵做例子。(事實上，當曲線光柵間距極小時，形成的曲線菱形，也可看成平行四邊形)。 圖(十一)中如果把垂直光柵線組任意標以整數值h=…-2,-1,0,1,2,…，斜線組則標以k=…-2,-1,0,1,2,…。由圖中可以看出，疊紋(圖中虛線部分)是所有h-k等於另一整數(設為m)的交點的連線。這組疊紋稱為差疊紋。另一組疊紋稱為和疊紋，乃h+k等於定值所形成的疊紋。在光柵的疊合中，通常只能看到紋距較大的一組疊紋，也就是通過菱形短對角線的一組。疊紋中同一紋路上各點的h-k值相同，當然，其中m=…-2,-1,0,1,2,…。亦即疊紋滿足下列指標方程式 h-k=m (11) 讓我們進一步研究上列指標方程式的性質。圖(十一)中，間距為b的一組垂線組光柵，可寫成 x=bh (12) x-軸在水平方向上。與垂直光柵交角(順鐘向)θ的斜線組則可以下式表示 y=xcotθ-ak/sinθ (13) 求出(12)，(13)式中的h與k而後代入(11)式： 【瀏覽原件】 (14) 這就是疊紋的方程式，它代表一個斜率如(6)式所示的直線系。 事實上差疊紋也不僅一組，圖也(十一)中如仔細觀察，可以發現平行於圖中MN線方向也有一組疊紋，只因為形成疊紋的交點距離較遠，密度較小，所以疊紋顯現不出來。這組高階疊紋也是受下列這個指標方程式所規範： h-rk=m (15) 式中r為有理數，(11)式只不過是(15)式中r=1的特例罷了。 由兩組光柵得來的疊紋可以說明一些基本的數學觀念，例如數學上所謂的Diophantine方程式(註)，即方程式的解答僅限於整數。指標方程式(11)或(15)正是Diophantine方程式的一個簡單例子，而疊紋事實上即指標方程式的解。圖(十一)中以光柵格子說明疊紋形成的方法與Minkowski在數論中以晶格表示的方法如出一轍。疊紋的紋路跨過平行四邊形的短對角線，如果把光柵看成向量，疊紋豈不就是向量差嗎？(大家一定很熟悉基本物理中力的平行四邊形法則)。如在曲線系統中，疊紋則可視為協變向量差(covariant vector difference)，學過張量分析(tensor analysis)的人對協變一字一定不陌生。 由兩組平行光柵重疊產生的疊紋也可用以說明數學上的仿射變換(affine transformation)。所謂仿射變換係一種經由旋轉或伸縮的座標系統轉換，經轉換後，原座標系統中平行的線組在轉換後的座標系中仍然平行。圖(十一)中的網狀組織代表一個斜座標系，這種座標系與一般直角座標的不同點是，兩組線間夾角並非90°，而且間距也不相等。如果旋轉其中的一組光柵，平行四邊形的形狀雖然改變，但對應的交點並沒改變，即h,k的值不變。我們比較熟悉的仿射變換的例子便是以橢圓來表示由側面透視的圓輪。 與平行線光柵相對應的曲線光柵便是5號圖(十二)的同心等距圓光柵。使兩組這樣的光柵相疊合，當兩圓心不在同一點時，則呈現了如圖(十三)的輻射線疊紋，兩圓心的間格越遠，輻射線紋也越多。請注意圖(十四)的中心處，有橢圓形疊紋產生。假如我們把座標原點訂在兩圓心連線的中點，x軸與兩圓連心線重合。令兩圓心距離為2s，則兩圓心的座標分別為x=s,y=o及x=-s,y=o。這兩組同心間距為a的圓光柵的方程式為 (x-s)2+y2=(ah)2 (16) 及 (x+s)2+y2=(ak)2 (17) 式中h及k的數目由內往外增，即h=0,1,2,3,…，k亦然。解出h，k後代入指標方程式(17)即得 【瀏覽原件】 (18) 這個式子可以進一步化成 【瀏覽原件】 (19) 這是一組焦點在x=s,y=o及x=-s,y=o的雙曲線系。圖(十三)中的輻射線正是這些雙曲線系的漸近線，其方程式為 【瀏覽原件】(20) 圖(十四)中見到的橢圓可以由另一指標方程式求出來。在上面的演算中，我們任意把指標由圓心往外標式。事實上，兩圓的曲率方向相反，其中一組指標k應定為負值。是則指標方程式變成 h+k=m (21) 把(16),(17)式中求出的h,k代入上式，再經排列，得 【瀏覽原件】 (22) 這是一組焦點在x=s,y=o及x=-s,y=o的橢圓系方程式。這些橢圓系與(19)式的雙曲線共焦點，故兩組疊紋在交會處相互垂直。從圖中也可以看出來。 到現在為止，我們尚未討論到由兩種不同光柵疊合而成的疊紋。底下讓我們選個2號和5號的最簡單直線及曲線光柵來試試看，我們選這兩種光柵，固然為了便於說明，最重要的是，他們所組成的疊紋是數學上很常見的曲線。圖(十五)的兩組拋物線疊紋便是這兩組光柵所組成的。假如把平行組光柵的間距縮小，疊紋立即變成圖(十六)的雙曲線。相反的，假如在圖(十五)中維持平行組光柵的間距而把5號的同心等距圓光柵的間距縮小，疊紋的形狀頓成圖(十七)的橢圓。換言之，假定同心等距圓的間距為a，平行線光柵的間距為b，則疊紋為拋物線，雙曲線或橢圓，端視a=b，a＞b 或a＜b而定。這三種曲線就是有名的錐線。錐線的幾何性質暫且留到以後討論。自然界中天體運行的軌跡便是受錐線所規約。牛頓曾指出，穩定的行星繞日運行，其軌道便是橢圓。但當有些慧星的動能超過它所受的引力時，運行的軌道則為雙曲線。 我們如果把這種天體運行看成一種線性運動及圓周運動的疊加現象，則遠較一般普通物理書上的解法來得簡易。 因為間距為a的圓光柵的方程式為 x2+y2=(ah)2 (23) 間距等於b的垂直光柵方程式為 x=bk (24) 解出h,k而後代入(11)式的指標方程式中得 (b2-a2)x2-2abmx+b2y2=a2b2m2 (25) 這就是錐線的一般方程式。普通解析幾何上的書都可查到。a與b的相對值決定了曲線為拋物，雙曲或橢圓。 限於篇幅，我的舉例到此為止。說實話，要抗拒疊紋的誘惑，實在需要一股定力。最後列幾張即興的疊紋供大家欣賞。圖(十八)到圖(二十二)都是用前節人造光柵疊合而成的疊紋，燕瘦環肥，各異其趣。特別是(二十一)的疊紋，就是鼎鼎大名的ovals of Cassini，圖形正中央平8字形曲線，芳名叫leminiscate of Bernonlli，也非泛泛之輩。圖(二十二)的疊紋較一般為弱，效果很突出。這種疊紋即一般所謂的多重或高階疊紋，即(15)式中r≠1的情形。 如果你有意在數學史上名垂千古，無妨花點時間，將各種不同的光柵疊合起來，把玩一番，並且試著用指標方程式把疊紋用代數式表示出來。幸運的話，你也許會遇到幾個在數學或物理上有極大重要性的疊紋。這時候儘管把你的大名冠上去，你就可以跟笛卡兒、卡西尼或伯努利等人在曲線的發現史上今古輝映。 在本文裏，我們介紹了疊紋，基本光柵及疊紋與數學的關係。至於疊紋與幾何、物學、工程量度和心理學的關係，以及所謂的疊紋拓撲學則留待以後再談。 (註)請參閱本期「希伯特第十問題」一文。 此帖于 2006-07-17 23:17 被 zackwang 编辑. |
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疊紋──奇妙的圖案(上)轉錄(科學月刊)
