[zackwang]

【摘要】兩片透光的細密圖案相疊合，可以產生一組新的圖樣；這種圖樣與數學、物理、工程量度、視覺心理及等高線測繪等都有微妙的關係。

在上期的「疊紋」一文中，我約略介紹了疊紋的意義以及日常生活中隨手可得的疊紋現象。在該文中我也介紹了17種光柵圖樣。諸位可能納悶，既然任何密度夠大的光柵重疊後都能產生疊紋，何以特別舉出這17種光柵來。讀完本文後，你就會了解這17種光柵都代表了某些幾何或物理現象。這些光柵重疊後產生的疊紋多少能幫助我們更具體的掌握一些物理概念，甚至能解決一些數學演算所不易解答的問題。當然，該文最主要的部分就是以解析幾何的方法，提出一個描敘疊紋的通式。在本文裡，我們進一步談談疊紋在幾何、物理、星度及視覺上的功用。本文取材的原則著重於趣味性，許多太專門太枯燥的題材只好忍痛捨棄。

一、疊紋與幾何

前文中，我們從解析幾何的觀點，用代數式來描繪疊紋的形狀，其實要了解疊紋，還可以採用投影的方式。投影可說是幾何學的靈魂，人的所有視覺經驗莫不與投影有關，藉著它，我們才能捕捉「空間」的概念。就拿錐線來說，假想有一個圓錐體，其表面等高處畫上線條(圖一﹐A)，則此圓錐體的正投影(亦即等高線圖)恰等於前文中5號的等距同心圓光柵圖樣，圓錐角越小，同心圓的線條就越密。同理，前文中1號﹐2號及13號的等距直線光柵圖樣也可看成斜面的等高線正投影(圖一﹐B)，斜面的傾斜度越大，直線光柵圖樣的間距就越小。如果我們把上述圓錐與斜面的投影結合起來，就可以得到錐線的圖形(圖一﹐C)。當斜面的傾斜度與圓錐斜面傾斜度相同時(即前文中等距同心圓間距與等距直線光柵間距相同的例子)，所得到的錐線為拋物線(圖一﹐E)；當斜面的斜度大於圓錐面斜度時(圖一﹐F)則為雙曲線；斜面的斜度小於圓錐面斜度時(圖一﹐D)，得到的是橢圓。(編者註)

由等高線投影的觀點來看，光柵的方程式(即前文中h,k的方程式)代表某一幾何體與z＝h平面所交成的面，另一組光柵方程式則代表另一幾何體與z＝k平面相交所成的面。經由指標方程式h±k＝p，把h、k消掉所得到的便是這兩個幾何體相交面在XY平面上的投影。因此，如果把前文中7號的圓球投影光柵與8號的圓柱投影光柵相疊合，所形成的疊紋便是圓球與圓柱相交面的正投影。以上的例子說明了疊紋技術可以很簡便的應用到求兩幾何體相交面正投影的問題上。

在前文中，我們看到的疊紋都由兩組相同的曲線組成。這個原因主要是由於同一等高線圖本身可以代表兩種幾何體的方向。例如(圖一﹐A)圓錐角朝上或朝下，得出來的等高線圖完全一樣。所以斜面與圓錐相交，圓錐的擺法不同(朝上或朝下)所得到的疊紋形狀雖相同，但走向則互異。

光柵無法明確顯示幾何體擺向的這一現象，可以解釋：何以同樣的兩片光柵，疊合後有時會得到兩種不同的疊紋。你無妨拿兩片6號的圓形環狀板光柵相疊合。當兩片環狀板的中心距離很小時，產生的疊紋是一組垂直於兩中心點連線的平行線；但當兩中心距離增大時，在兩中心點間產生環狀板疊紋。因為圓形環狀板可以看成拋物線體的等高線投影，第一個例子所得到的疊紋等於兩個拋物體開口方向相同時相交面的正投影。第二個例子，則等於兩拋物體一個開口朝上，另一個開口朝下時相交面的投影。這兩種情況，也就是前文中的差疊紋與和疊紋。

解釋疊紋，也可以由投影幾何著手。投影幾何學的發展，到19世紀中葉瑞士數學家斯台涅(J. Steiner)手中最為燦爛輝煌。斯氏曾提出一條定理：「錐線乃兩相關光線錐(由一點發出或輻集於一點的一束線條或光線)對應線交點的軌跡」。這個定理可以用圖二的疊紋來說明：兩光線錐即圖中由兩中心點出來的輻射線，對應線即前文中(17)和(28)式的和。差指標方程式

h-k =p
h+k=p

圓及雙曲線疊紋則為相交點的軌跡，亦即定理中之錐線。

拓樸學(Topology)，或通稱的Rubber Sheet Geometry，研究的對象是變形情況下一些不變的幾何圖形性質。研究拓樸學的人對於某些疊紋現象也許會感興趣。例如把前文中5號的等距同心圓光柵疊放在3號的對數光柵上頭，不管同心圓圓心放在何處，呈現出來的疊紋都呈卵形狀。這個例子中圓心位置的移動可看成一種變形，而卵形狀可以看出不變的幾何圖形性質。另外的一個例子便是圖三的疊紋，這種疊紋的形狀像環面(torus或doughnut)的切片。

二、疊紋與物理

前文中介紹的基本光柵圖樣都可以代表某種物理現象，所以把兩片光柵重疊就好比把兩個物理條件疊加在一起；在物理學上，這是常見的事。由這個角度來看，疊紋可以視為物理問題的圖解答案，特別是在場與波物理方面，諸如靜電學、磁學、重力、彈性力學、流體力學、熱力學及聲波、水波、電磁波等疊加或干涉現象較常見的一部分。

舉個例子，前文中1號和2號的簡單黑白光柵圖樣就可以代表一種平面波(plane weve)，每一條線可以看成平面波的波前(即線上每一點的相位相等)，波的行進方向垂直於黑白線條。黑線與白線寬度的和可以代表波長。波的強度(或波動的振幅)這裡無法表示出來。因此以疊紋來解釋波動只能求得相位的關係。不過，在干涉現象裡(干涉即是兩個波的疊加結果)，相位的關係才是描敘干涉結果的一個最重要因素。

假如一個平面波碰到一個傾斜於波前的反射面，則入射波與反射波重疊之後就形成如圖四疊紋所示的駐波。疊紋的走向恰好平分入射波與反射波的夾角。這一點正遵循了波動的反射原理，即反射時入射角應等於反射角。在實際生活裡，海浪撞擊崖岸產生的波形是駐波的一個典型例子。

如果有一堆反射面疊在一起，比方一堆玻璃片，且玻璃片的厚度與光波長相差無幾。若以白光由側面照射這堆反射面，就可以看到美麗的繞射色彩。鳥類羽毛及珍珠上散發出來色彩這是這個原因。

1912年，布拉格(W. L. Bragg)便曾提到X-光在晶體內的繞射現象，可以把原子面看成反射面。布拉格定律中X光的間距d可以前文中(2)式

d=a/(2sin(θ/2)) (3)
表示。所差者，該式中所取角度為布拉格定律中選取角度的兩倍。這兩者間的關係可用圖五來比較。

有一種由線源(line source)發出來的圓柱波，可以用5號的等間距圓光柵圖樣表示。這個圖形也可以代表從點光源出來的球形波的一個剖切面。發自兩個點光源或(線源)的這種球形波(或圓柱波)，干涉後得到的干涉條紋就像圖六的疊紋。這個疊紋圖樣與1609年有名的楊氏(Thomas Young's)干涉實驗所得到的干涉圖樣相仿。當時楊氏以點光源照射兩個隙孔，而在隙孔後端的銀幕上觀測其干涉條紋。由此而顯示光的波動性質。楊氏實驗中條紋的距離可以由前文中(20)式的疊紋方程式

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導引得來，上式中如兩隙孔的距離2s與光的波長a相較極大，即2sa，則可簡化成

y= ±(2s/ap)． x　　 (5)
(5)式中各變數所代表的物理量可參考圖七。

除了以上所舉的例子外，兩個等距同心圓光柵相重疊後所產生的疊紋，還可以說明許多與兩個相干光源有關的各種光學裝置，諸如傳瑞涅耳雙稜鏡(Fresnel's bi-prism)(圖八)及里奧鏡(Liyod's Mirror)(圖九)等。這種疊紋也可應用到航海上所謂的Loran方法，即船隻可以藉著收到兩個由不同海岸點處發生的無線電訊號來確定船隻的位置，利用前文中的疊紋方程式(22)式

x2/(ap/2)2-y2/(s2-ap/2)2=1 (6)
便可決定船隻在雙曲線的位置。

光學上另一有名的干涉實驗就是把凸透鏡放在反射面上可以產生牛頓環，形狀恰如7號的球的投影光柵(圖十)。不過一般初級物理書上有時常以6號圓形環狀光柵圖樣來取代以簡化它的代數式。這使我聯想起有一些物理教科書上常把石頭掉進湖中所產生的水波畫成等間距同心圓圈。事實上，因為表面張力的關係，當波往外擴散時，波長也逐漸加大，水波的圖樣應該是一種收歛圓才對。

剛才提過的波的反射原理也適用於圓柱波及曲線形反射面。圖十一中心部分表橢圓形空腔內的駐波，例如有一種橢圓形房間，有人在某一焦點上輕聲細語，站在房中另一焦點上的人卻可以聽得到他的聲音。另一反射的例子是音樂廳的構造，往往是一種拋物線形結構物，演奏者通常都在焦點處，以便聲音可以反射到整個音樂廳。圖十二顯示了拋物線反射面(疊紋線)如何把由焦點發出的圓柱波(球形波)變成平面波。反過來說，假如一個平面波碰到拋物線反射面，就會聚到拋物面的焦點上。由此可見，疊紋可以溝通物理光學(light as waves)與幾何光學(light as rays)的關係。

在鏡片的製造上，疊紋可以用來決定鏡片的表面曲度以供消去鏡片的球像差(spherical aberration)的參考。也可用以解釋全像攝影術上構成全像片的一些基本干涉圖樣的形成。6號的圓形環狀板光柵，和凸透鏡的效用一樣，有焦聚光波的功能，但厚度比凸透鏡薄，所以在電子顯微鏡裡可用來取代鏡片。

物理上研究場的問題時，疊紋也可以作為一個圖解方法。圖十三的輻射圖形可以代表流體力學上的流線。中心點可為源點(source)，也可為消點(sink)，或者代表經過中心點垂直於圖面的電線的輻射電場。當兩個這種圖形疊合時，所得到的差疊紋(圖十四)便是二維電偶極(electrical dipole)或一個源點一個消點的流場的合成流線。而其和疊紋(圖十五)便是同樣走向的兩個等值電場或兩個源點流場的合成流線。圖十五中心點的雙曲線在流體力學上代表滯流點(stagnation point)，即該點處流速等於零。靜電學上則表電荷的平衡點。以上係兩個等值電場或流場疊

合的情況。至於兩不等值電場或流場疊合後的複雜情形也不難把圖十三和圖十六疊合而得。這裡舉例的疊紋，無非是拉普拉斯方程式(Laplace equation)的圖形解答。

收歛圓光柵圖樣可以代表線源的等勢線，兩個這種圖形疊合就形成二維偶極(圖十七)或同號兩個線源(圖十八)的合成等勢線。圖十七的疊紋恰好是圖十四中疊紋旋轉90°而成，或者說等勢線與流線在交點處相互垂直，這點說明了勢與場互為共軛複數。

收歛圓在流體力學上也可代表一種渦流(vortex)，圖十七是兩個反向渦流的合成流圖，圖十八則是兩個同向渦流的合成流圖。前文中舉出的標準光柵圖樣，任意配對疊合，可以顯示許多不同流場疊合後的現象。例如2號光柵可以代表一個均勻流場(uniform flow，即流場中各點流速相等)；而3號的對數光柵，可以用來代表河川中的流況，粗線的一端代表岸邊流速較慢，細線的一端則表河中心流速較大。有時在流體力學上要用數學式來求合成流場的滯流曲線(stagnation curve)並不容易，但是用疊紋方法來求，則無需透過複雜的演算也可以立即得到這種問題的圖解答案。所以，有時一個未曾受過高深的數學訓練的人，也可以利用疊紋來掌握一些物理問題。

三、疊紋與物理或工程量度

精密量度也是疊紋在工業上的一項應用。前文中曾提及如何以兩個直線平行光柵來量測小角度。近年來，已經可以利用疊紋精密的量度到一度的1/3600。有些人還利用疊紋來做無線電報機的方位計(goniometer)。精密的方位計通常都很昂貴。不過我們可以利用疊紋來自製方位計，只要把直線平行光柵置於一可旋轉器上，並且可以與另一固定的直線平行光柵疊合。如此，只需要用一根簡單的尺量一下疊紋的間距d，加上已知光柵間距a，則立即可從前文(3)式中定出轉角θ。

利用不同間距的光柵疊合而成的疊紋的轉動現象，可以檢驗鏡片。學過基本光學的人都很容易瞭解光柵的間距，經過透鏡後即可放大或縮小。凸透鏡如果擺在光柵上方距離小於焦距的地方，可以看到光柵的間距被放大。反之如用凹透鏡則間距縮小。把一個很薄的凸透鏡緊貼在2號光柵透明片上，然後放在另一2號光柵圖樣上方。便可看到疊紋。由鏡中望見的疊紋與由鏡外背景處的疊紋會有相對的旋轉。如果是凸透鏡，鏡中的疊紋轉向係順時鐘；如是凹透鏡，則疊紋的轉向為逆時鐘。轉動的多寡則取決於鏡片焦距的長短。複透鏡的焦距長度便可以用這個方法來測定。鏡片的焦距f，可以用下式計算出：

(f-s)/f=b/a 　　　　　　　　　　　　　　　(7)
式中a為光柵間距，s為鏡片與光柵圖案的距離，b則為鏡中所見光柵間距。把此式與前文中(6)式聯立可解出焦距f

f=s．〔sin(θ+Φ)/(sin(θ+Φ)-sinΦ)〕 　　　　(8)
式中θ為兩片光柵的夾角，Φ則為鏡中疊紋與鏡外背景疊紋的傾斜角。

疊紋在工業上的最大貢獻就在於量度上的應用。例如在應力分析上可以測量物體的微小移動或形變(deformation)；也可以測定流體介質折光率的變化情形以便研究流體中流速及溫度的分布情形；甚至於可以用來調整示波儀(oscilloscope)，或者強化一個微弱訊號。

四、疊紋與視覺心理

在把玩疊紋的過程中，時常會不經意的發現一些奇妙的視覺現象。

例如把兩片14號的中等粗細光柵圖樣疊合。在線條的交會處光柵有折曲的感覺，這個現象可以由圖十九得到驗證，圖中線條經光柵後彷彿變成折線。這種折曲現象顯然與Poggendorf錯覺(圖二十)有關。圖中x是A的延線而非B的延線。當斜線與垂直線的夾角大於45°時，這種錯覺便消失。這種折曲現象也是Orbison錯覺(圖二十一)的來源，因為圖中折曲的現象在直線與圓的交角愈小時愈明顯。

有些心理學家認為Orbison錯覺主要是由於深度感的作祟。他們認為等距同心圓令人聯想起中央部分往內凹的曲面。這種說法站不住腳，因為以6號圓形環狀板或7號的球的投影光柵代替等距同心圓，Orbison錯覺依然存在，而以上的兩種圖形，中央部分顯得突出，與前者恰巧相反。

利用視覺暫留的現象，也可以產生疊紋。試著把1號粗線光柵拿在手上，前後搖動。立刻可以看到與兩片粗線光柵重疊後所產生的類似的疊紋。而且光柵在白色疊紋處有折斷的感覺。最妙的是疊紋略帶粉紅色。這一點可能與各種顏色在視覺神經中暫留時間不等有關，紅色暫留的時間較長。

這種流動的疊紋可能是構成光學藝術的基礎。所謂光學藝術(OP藝術)，通常都是利用一些原始的幾何圖形來引起視覺的刺激作用。圖二十二及圖二十三便是兩個例子。圖二十三中收縮的正弦曲線使圖形看起來有很強烈的立體感。如果把一隻鉛筆放在圖上，令筆捍垂直於圖中的曲線，迅速來回移動鉛筆，你會感覺到畫面上含有起伏的山峰與山谷。

疊紋也可以辨識眼球的不自覺移動。例如盯著圖六的疊紋看，久了會發覺圖中的輻射線有輕微抖動的現象。這是由於人的眼球因疲勞而做快速的小移動所致。

俗話說「眼睛是靈魂之窗」，透過視覺，人才能捕捉這個花花世界的光怪陸離。不管是霧中看花也好，帶著有色眼鏡看大千世界也好，都比不上帶著光柵看景象來的過癮。不信，底下三種基本光柵：圖十六、圖二十四和圖二十五任選一片，湊近眼睛，如果碰上景物係由一些漫散的圖形所構成──例如節目未上演前，電視機螢光幕上雜亂無章的黑白點，景象就很吸人。如果用的是圖十六的透明光柵片，電視上會出現一些同心圓圈；用圖二十四的同心圓透明光柵片，螢幕上就呈現出由內往外輻射的線條；用圖二十五的對數螺旋光柵片，則螢幕上呈現出反轉向的螺旋線。這些景象都是疊紋。所以，從紗窗到螢光幕，處處有疊紋！

參考資料

1.G. Oster and Y. Nishijima, "Moire Patterns" Scientific America, May 1963.

2.G. Oster, "Optical Art", Applied Optics 4, 1359(1965).

3.G. Oster, M. Wasserman, and C. Zwerling, "Theoretical Interpretation of Moire" J. Optical Soc. Amer. 54, 169(1964).

4.G. Oster, "Representation and Solution of Optical Problems by Moire' Patterns", in Symposium on Quasi-Optics. Wiley-Interscience, New York, 1964.

5.D. M. Mackay, "Visual Effects of Non-Redundant Stimulation", 192, 739(1961).



　
　 　

[opencs2]

謝謝樓主的好文分享,希望我也能夠從中體悟